Γ1.1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Θα μάθουμε:

  • Να αναφέρουμε τον τρόπο αναπαράστασης των δεδομένων (δυαδικό σύστημα)
  • Να μετατρέπουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό
  • Να υπολογίζουμε το συμπλήρωμα ενός δυαδικού αριθμού ως προς 1 και ως προς 2
  • Να αναπαριστούμε προσημασμένους δυαδικούς αριθμούς
  • Να υπολογίζουμε το άθροισμα και τη διαφορά 2 δυαδικών αριθμών.

Δυαδικοί αριθμοί

Δεκαδικοί αριθμοί (decimal numbers): έχουν ως βάση τον αριθμό 10 .
Π.χ. (259)10 = 2 x 102 + 5 x 101 + 9 x 100 (2 εκατοντάδες, 5 δεκάδες και 9 μονάδες)

Δυαδικοί αριθμοί
(1101)2 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 (1 οκτάδα, 1 τετράδα, 0 δυάδες και 1 μονάδα)
Άρα (1101)2=(13)10

(1010.01)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20+ 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = (10.25)10

 

Μετατροπή Δυαδικού σε Δεκαδικό

27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 1 0 0 1

Αριθμός 10111011 σε δεκαδικό:
10111011(2) = 1x128 + 0x64 + 1x32 + 1x16 + 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 187

 

Παραδείγματα μετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό

(10111)2 = (23)10
(1010100)2 = (84)10
(111.11)2 = (7.75)10
(10000.101)2 = (16.625)10

Μετατροπή Δεκαδικού σε Δυαδικό

Αριθμός 187 σε δυαδικό:
187/2=93  και υπόλοιπο 1
93/2=46    και υπόλοιπο 1
46/2=23    και υπόλοιπο 0
23/2=11    και υπόλοιπο 1
11/2=5      και υπόλοιπο 1
5/2=2       και υπόλοιπο 1
2/2=1       και υπόλοιπο 0
1/2=0       και υπόλοιπο 1
Παίρνουμε τα υπόλοιπα που έχουμε από το τελευταίο προς το πρώτο: 10111011

 

 Μετατροπή κλασματικού μέρους Δεκαδικού σε Δυαδικό

Αριθμός 0.6875 σε δυαδικό:
0.6875 * 2 =1.375  → 1
0.375 * 2 = 0.75    → 0
0.75 * 2 = 1.5        → 1
0.5 * 2 = 1.0         → 1 (βρήκαμε κλασματικό μέρος 0)

Παίρνουμε από το πρώτο προς το τελευταίο:

Άρα (0.6875)10 = (0.1011)2  

Μετατροπή δεκαδικού αριθμού με υποδιαστολή σε δυαδικό

Π.χ. (12.45)10 = (1100.0111001)2

Ακέραιο Μέρος

Αριθμός Πηλίκο Υπόλοιπο
12/2 =  
6/2 =  
3/2 =  
1/2 =
6
3
1
0




1


Δεκαδικό Μέρος

Αριθμός  Γινόμενο  Bit
0.45 * 2=
0.9 * 2 =
0.8 * 2 =
0.6 * 2 =
0.2 * 2 =
0.4 * 2 =
0.8 * 2 =
0.9
1.8
1.6
1.2
0.4
0.8
1.6
0
1
1
1
0
0
1

Η η κλασματική μετατροπή θα μπορούσε να συνεχιστεί. Η μετατροπή μάς δίνει μία προσέγγιση του αριθμού 0.45.


Συμπληρώματα (Complements)

Τα συμπληρώματα χρησιμοποιούνται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την απλοποίηση της πράξης της αφαίρεσης και για τις λογικές πράξεις.
Υπάρχουν δύο τύποι συμπληρώματος για κάθε αριθμητικό σύστημα:

  • το συμπλήρωμα ως προς τη βάση και
  • το συμπλήρωμα ως προς τη μειωμένη βάση κατά 1.

Στην περίπτωση των δυαδικών αριθμών θα έχουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 (βάση) και το συμπλήρωμα ως προς 1 (μειωμένη βάση κατά 1).

 

Συμπλήρωμα ως προς 2

Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού Ν με k ψηφία προκύπτει αν αφαιρέσουμε από τον αριθμό 2k τον αριθμό Ν, για Ν≠0 και αφαιρούμε 0 για Ν=0.

Αν, για παράδειγμα, Ν=10100 τότε 2k= 100000, άρα 100000-10100=01100.

Το συμπλήρωμα ως προς 2 μπορεί να σχηματιστεί αν αφήσουμε όλα τα λιγότερα σημαντικά ψηφία 0 (το λιγότερο σημαντικό ψηφίο ενός αριθμού είναι αυτό που βρίσκεται δεξιότερα) και το πρώτο ψηφίο 1, αναλλοίωτα, και μετατρέψουμε τα υπόλοιπα ψηφία που έχουν τιμή 1 σε 0 και αυτά που έχουν τιμή 0 σε 1.

Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 10100 είναι 01100

 

Παράδειγμα συμπληρώματος ως προς 2 για 8-bit δυαδικούς αριθμούς

Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 00011001 είναι 11100111

(28 = 100000000, άρα 100000000-00011001 = 11100111)

Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 11010000 είναι 00110000

Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 10101010 είναι 01010110

Το συμπλήρωμα ως προς 2 του 00111100 είναι 11000100


Αφήνουμε όλα τα λιγότερα σημαντικά ψηφία 0 (αυτά που βρίσκονται δεξιότερα) και το πρώτο ψηφίο 1, αναλλοίωτα, και μετατρέψουμε τα υπόλοιπα ψηφία που έχουν τιμή 1 σε 0 και αυτά που έχουν τιμή 0 σε 1.

 

Αριθμητική Πρόσθεση 2 δυαδικών αριθμών

Όπως την πρόσθεση των δεκαδικών αριθμών. Η διαφορά είναι ότι έχουμε κρατούμενο όταν συμπληρωθεί μία δυάδα και όχι όταν συμπληρωθεί μία δεκάδα.

Αν έχουμε, για παράδειγμα, να προσθέσουμε τους αριθμούς 00001011 (ο αριθμός 11 στο δεκαδικό) και 00000011 (ο αριθμός 3 στο δεκαδικό), θα πάρουμε τον αριθμό 00001110 (ο αριθμός 14 στο δεκαδικό).

       11
  00001011
+ 00000011
  ========
  00001110

Παραδείγματα πρόσθεσης δυαδικών αριθμών

Στα δύο τελευταία παραδείγματα έχουμε υπερχείλιση του τελευταίου ψηφίου. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν χωρά σε έναν δυαδικό αριθμό μεγέθους 8 ψηφίων.

 

Αριθμητική Αφαίρεση 2 δυαδικών αριθμών

Στην περίπτωση που θέλουμε να αφαιρέσουμε 2 δυαδικούς αριθμούς Χ και Υ όπου Χ>=Υ, τότε χρησιμοποιούμε τον ίδιο τρόπο με τον οποίο κάνουμε αφαίρεση στο δεκαδικό σύστημα, χρησιμοποιώντας την έννοια του δανεικού (borrow).

Πράξη Αποτέλεσμα Κρατούμενο
0 - 0
0 - 1
1 - 0
1 - 1
0
1
1
0
0
1
0
0

Μία εναλλακτική λύση, που είναι πιο αποτελεσματική στην υλοποίηση της με ψηφιακά κυκλώματα, είναι η μέθοδος που χρησιμοποιεί συμπληρώματα.

 

Αφαίρεση (Χ-Υ) με συμπλήρωμα ως προς 2, Χ>Υ

Χ=01010100 και Υ=01000011 και θέλουμε να υπολογίσουμε τη πράξη Χ - Υ:

(α) Υπολογίζουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 του αφαιρετέου Υ ( → 10111101).

(β) Προσθέτουμε τον αριθμό Χ με το συμπλήρωμα του αριθμού Υ:

(γ) Αγνοούμε την υπερχείλιση του τελευταίου ψηφίου, άρα Χ - Υ = 00010001

 

Αφαίρεση (Υ-Χ) με συμπλήρωμα ως προς 2, (X>Y)

Χ=01010100 και Υ=01000011 και θέλουμε να υπολογίσουμε τη πράξη Υ - Χ:

(α) Υπολογίζουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 του αφαιρετέου Χ (10101100).

(β) Προσθέτουμε τον αριθμό Υ με το συμπλήρωμα του αριθμού Χ:
01000011 + 10101100 = 11101111

(γ) Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα είναι ένας αρνητικός αριθμός, οπότε προσθέτουμε στην αρχή το πρόσημο - και βρίσκουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 του αποτελέσματος (ο αριθμός 11101111 θα μετατραπεί σε -00010001).

Άρα 01000011 - 01010100 = -00010001

 

Επιπλέον Υλικό

Το Δυαδικό Σύστημα αρίθμησης

Να παρακολουθήσετε την διαδικασία μετατροπής ενός ακέραιου αριθμού (μη προσημασμένου) από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό και αντίστροφα. Ακολούθως, να παρακολουθήσετε και την διαδικασία μετατροπής ενός πραγματικού αριθμού (προσημασμένου) από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό:

 

Ασκήσεις στο Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Επίλυση ασκήσεων για εμπέδωση του μαθήματος

 

Πρόσθεση στο Δυαδικό

Να παρακολουθήσετε την διαδικασία πρόσθεσης δύο ακέραιων αριθμών (μη προσημασμένων) στο δεκαδικό και δυαδικό σύστημα. Η πρόσθεση δύο δυαδικών προσημασμένων αριθμών είναι εκτός ύλης γι’ αυτό να αγνοήσετε το μέρος του βίντεο το οποίο επεξηγείται η διαδικασία αυτή. Επίσης, στο βίντεο αυτό, μπορείτε να παρακολουθήσετε και την επίλυση ασκήσεων για εμπέδωση του μαθήματος.

 

Συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού

Να παρακολουθήσετε την διαδικασία υπολογισμού του συμπληρώματος ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού και της χρήσης του συμπληρώματος ως προς 2 για την αφαίρεση δύο δυαδικών αριθμών.

 

 

 

 

 

Διαβάστηκε 283 φορές